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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 3: Sucesiones

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11. Encuentre $p>0$ sabiendo que existe y es positivo el \[ \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(\sqrt{n^{p}+7}-\sqrt{n^{p}+2}\right) \]

Respuesta

Vamos a ver cómo podemos pensar este problema, seguime en este razonamiento. Nosotrxs queremos encontrar $p > 0$ para que este límite sea positivo:

$\lim _{n \rightarrow \infty} n^{2}\left(\sqrt{n^{p}+7}-\sqrt{n^{p}+2}\right)$

Entonces, calculemos el límite y al final veamos qué le tenemos que pedir al resultado para asegurarnos que nos de un número positivo. Fijate que independientemente del valor de $p$ estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito menos infinito" con raíces blabla, multiplicamos y dividimos por el conjugado, no? Nos queda en principio algo así:

$ \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2} \cdot \frac{(\sqrt{n^{p}+7})^2 - (\sqrt{n^{p}+2})^2}{\sqrt{n^{p}+7}+\sqrt{n^{p}+2}} $ Al simplificar, obtenemos: $ \lim _{n \rightarrow \infty} n^{2} \cdot \frac{n^{p}+7 - (n^{p}+2)}{\sqrt{n^{p}+7}+\sqrt{n^{p}+2}} $ $ = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{5n^2}{\sqrt{n^{p}+7}+\sqrt{n^{p}+2}} $

Bueno, ahora estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito". Sacamos factor común el que manda y arrancamos adentro de la raíz ¿A quién vamos a sacar como factor común? A $n^p$

$ = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{5n^2}{\sqrt{n^{p}(1+\frac{7}{n^{p}})}+\sqrt{n^{p}(1+\frac{2}{n^{p}})}} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{5n^2}{n^{p/2}\sqrt{1+\frac{7}{n^{p}}}+n^{p/2}\sqrt{1+\frac{2}{n^{p}}}} $

Atenti ahí en ese paso cuando distribuimos la raíz, acordate que tener raíz cuadrada de algo es lo mismo que tenerlo elevado a la potencia $\frac{1}{2}$

Ahora sacamos factor común $n^{p/2}$

$ = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{5n^2}{n^{p/2}(\sqrt{1+\frac{7}{n^{p}}}+\sqrt{1+\frac{2}{n^{p}}})} $

Y ahora, importante acá este paso no te me pierdas. Nos quedó $n^2$ arriba y $n^{p/2}$ abajo. Si la potencia del numerador es más grande, ese límite nos va a dar infinito. Si, en cambio, la potencia del denominador es más grande, entonces ese límite nos va a dar cero. Y si el grado es el mismo, nos va a dar un número. Exacto, nosotros lo que queremos es que este límite nos de un número positivo, no queremos que se vaya a infinito ni nos de cero. Te das cuenta entonces que, necesariamente, la $n$ del denominador tiene que estar al cuadrado? Es decir,

$\frac{p}{2} = 2$

$p = 4$

Entonces, si $p = 4$ este límite nos da un número positivo, en particular nos da $\frac{5}{2}$. En cualquier otro caso, este límite nos daría cero o infinito, que no es lo que queremos. Se entendió?
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Avatar Caro 21 de mayo 23:18
Hola Flor, como estas? Te hago una consulta, por qué igualaste el exponente p/2 a 2? No entendí muy bien esa parte :((
Avatar Flor Profesor 22 de mayo 19:56
@Caro Hola Caro! Porque nosotras necesitamos que ambas potencias de $n$ sean iguales, así se me cancelan :) Si la potencia del numerador fuera más grande, entonces el límite se iria a infinito... en cambio, si la potencia del denominador fuera mayor se iria a cero (acordate lo que pasaba con los cocientes de polinomios y que cuando eran de igual grado nos daba un número, porque se nos cancelaban las n que mandaban en numerador y denominador) -> Como en este caso el enunciado nos pide que sea un número distinto de cero el resultado del límite, entonces por eso pido que $p/2$ sea exactamente $2$, así se nos cancela con la de arriba :)
Avatar Pablo 24 de abril 19:51
Hola, Flor! Consulta: El limite no deberia ser 5? Porque los coeficientes son 5 arriba y 1 abajo o no?
Avatar Flor Profesor 25 de abril 08:37
@Pablo Hola Pablo! Nono, mirá, te quedaría así. Si $p = 4$, el exponente de la $n$ del denominador es un cuadrado y te queda:

$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{5n^2}{n^{2}(\sqrt{1+\frac{7}{n^{2}}}+\sqrt{1+\frac{2}{n^{2}}})} $

Simplificas los $n^2$

$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{5}{(\sqrt{1+\frac{7}{n^{2}}}+\sqrt{1+\frac{2}{n^{2}}})} $

Y ahora el numerador tiende a $5$ y el denominador tiende a $2$, lo ves? Por eso el resultado del límite es $5/2$

Avisame si ahora quedó claro :)
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